lunes, 22 de septiembre de 2014

Sistema de numeración decimal

Para otros usos de este término, véase Sistema decimal (desambiguación).
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9).
Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Índice

Notación decimal

Véase también: Nombres de los números en español
Véase también: Escalas numéricas larga y corta
Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por 10^0 (es decir 1) ; el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.
\begin{array}{rcccl} \hline 1 & = & 10^0 & \longmapsto & uno \\ 10 & = & 10^1 & \longmapsto & diez \\ 100 & = & 10^2 & \longmapsto & cien \\ 1\; 000 & = & 10^3 & \longmapsto & mil \\ 10\; 000 & = & 10^4 & \longmapsto & diez \; mil \\ 100\; 000 & = & 10^5 & \longmapsto & cien \; mil \\ 1 \; 000\; 000 & = & 10^6 & \longmapsto & un \; mill\acute{o}n \\ \hline \end{array}
  • Ejemplo:
\begin{array}{rcl} 347 & = & 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 7 \cdot 1 \\ & = & 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 \end{array}
otro ejemplo:
17\; 350 = 1 \cdot 10\; 000 + 7 \cdot 1\; 000 + 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1
o también:
\begin{array}{rcrcr} 10\; 000 & \times & 1 & = & 10\; 000 \\ 1\; 000 & \times & 7 & = & 7\; 000 \\ 100 & \times & 3 & = & 300 \\ 10 & \times & 5 & = & 50 \\ 1 & \times & 0 & = & 0 \\ \hline & & & & 17\; 350 \end{array}

Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.
\begin{array}{lcccl} \hline \rm d\acute{e}cima & \longmapsto & 10^{-1} & = & 0,1 \\ \rm cent\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-2} & = & 0,01 \\ \rm mil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-3} & = & 0,001 \\ \rm diezmil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-4} & = & 0,0001 \\ \rm cienmil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-5} & = & 0,00001 \\ \rm millon\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-6} & = & 0,000001 \\ \hline \end{array}
  • Ejemplo:
1,0243 = 1 \cdot 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2}+ 4 \cdot 10^{-3} + 3 \cdot 10^{-4}
o también:
\begin{array}{lcrcl} 1 & \times & 1 & = & 1 \\ 0,1 & \times & 0 & = & 0,0 \\ 0,01 & \times & 2 & = & 0,02 \\ 0,001 & \times & 4 & = & 0,004 \\ 0,0001 & \times & 3 & = & 0,0003 \\ \hline & & & & 1,0243 \end{array}
  • El sistema de numeración romano es decimal, pero no-posicional:
IX = 9 \;
XI = 11 \; .

Historia

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.
Cronología
Año Acontecimiento
III milenio a.C. Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicional.
Otras culturas de mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicional sexagesimal.
Antes de 1350 los chinos.
hacia -600 los etruscos
hacia -500 Registros en sánscrito.

La civilización maya

Numeraciones decimales

El sistema decimal es el más común. Por ejemplo, las numeraciones:

Escritura decimal

\rm {n \acute{u} mero \atop decimal} \left \{ \begin{array}{l} \rm entero \\ \rm fraccionario \left \{ \begin{array}{l} \rm racional \left \{ \begin{array}{l} \rm exacto \\ \rm peri \acute{o} dico \left \{ \begin{array}{l} \rm puro \\ \rm mixto \end{array} \right . \end{array} \right . \\ \rm irracional \end{array} \right . \end{array} \right .
En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base.
La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de los tipos:
  • Número entero
  • Número decimal exacto.
  • Número decimal periódico.
    • Número decimal periódico puro.
    • Número decimal periódico mixto.
  • Número irracional.
Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea.

Véase también

Bibliografía

Oteiza, Elena (2003). Álgebra. Pearson Educación.
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