Los De la Tarea: Representación decimal

Este artículo trata sobre definiciones matemáticas. Para otros usos de este término, véase Decimal .

En matemática, la representación decimal es una manera de escribir números reales positivos, por medio de potencias del número 10 (negativas o positivas). En el caso de los números naturales, la representación decimal corresponde a la escritura en base 10 usual; para los números racionales, se obtiene una representación decimal limitada, o ilimitada periódica si son números periódicos; si son irracionales, la representación decimal es ilimitada y no periódica.

Índice

Definición matemática

La representación decimal de un número real no negativo r, es una expresión matemática escrita tradicionalmente como una serie del tipo

r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}

en donde a₀ es un entero no negativo, y a₁, a₂, … son enteros tales que 0 ≤ a_i ≤ 9 (son los llamados «dígitos» de la representación decimal). Si la secuencia de dígitos es finita, los a_i restantes se asumen como 0. Si no se consideran secuencias infinitas de 9's, la representación es única.¹
El número definido por una representación decimal también admite la siguiente escritura:

r=a_0.a_1 a_2 a_3\dots.\,

En tal caso, a₀ es la parte entera de r, no necesariamente entre 0 y 9, y a₁, a₂, a₃, … son los dígitos que forman la parte fraccionaria de r.
Ambas notaciones son, por definición, el límite de la sucesión:

r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}

Aproximación a números reales

Véase también: Aproximación diofántica

Todo número real puede ser aproximado al grado de precisión deseado, por medio de números racionales que poseen representaciones decimales finitas. En efecto, sea

x\geq 0

; para cada número natural

n\geq 1

hay un número decimal exacto

r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n

tal que

r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,

Demostración

Caso de los números enteros

Todo número entero posee una escritura natural en el sistema de numeración decimal. Para obtener su representación decimal es suficiente con escribir 10⁰ como denominador.

Caso de los números decimales

Un número decimal (finito) es un número que se puede escribir de la forma

\frac{N}{10^n}

con N y n números enteros. Un número decimal posee entonces una representación decimal limitada compuesta por potencias negativas de 10. Recíprocamente: todo número que posee una representación decimal limitada, es un número decimal.

Caso de los números racionales

La expansión decimal de un número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si y solo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2ⁿ5^m, donde m y n son enteros no negativos.

Demostración

Véase también

Notas y referencias

Knuth, D. E. (1973), «Volume 1: Fundamental Algorithms», The Art of Computer Programming, Addison-Wesley, pp. 21

Bibliografía

Tom Apostol (1974). Mathematical analysis (Segunda edición edición). Addison-Wesley.

Los De la Tarea

lunes, 22 de septiembre de 2014

Representación decimal